Logaritmo

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Logaritmo

Ao estudarmos a exponenciação ou potenciação aprendemos que, por exemplo, o produto de 3 por 3, que é igual a 9, pode ser representado na forma de uma potência pela seguinte sentença matemática:

Utilizando a notação dos logaritmos também podemos representá-la assim:

Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos:

2 é o logaritmo de 9 na base 3;

3 é a base do logaritmo;

9 é o logaritmando.

Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:

Para os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x, tal que b^x = a

Vejamos a sentença abaixo:

O expoente desta potência, no caso 3, é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:

Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que pode, de forma simplificada, ser expresso como , com a omissão do expoente 1.

Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como , utilizamos apenas .

Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez de , utilizamos , que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.

Assim sendo a expressão em geral é escrita como

Propriedades dos Logaritmos

Considerando a, b, c, M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, temos as seguintes propriedades dos logaritmos:

Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1.

Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:

Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0.

Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b:

O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b de N.

Vamos tomar como exemplo o .

Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:

Como vimos acima o , pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9:

Claramente o , já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27:

Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:

Então chegamos a:

O logaritmo de 243 na base 3 é igual a 5, pois este é o expoente ao qual 3 precisa ser elevado para obtermos 243.

O logaritmo na base b do quociente de M por N é igual à diferença entre o logaritmo na base b de M e o logaritmo na base b de N.

Agora vamos utilizar o neste outro exemplo.

Segundo a propriedade do quociente de um logaritmo temos:

Já que como visto o e temos que:

O logaritmo de 3 na base 3 é igual a 1, já que este é o expoente ao qual a base 3 é elevada para 3 ser obtido.

Para qualquer valor real M, o logaritmo na base b da potência N^M é igual ao produto do expoente M pelo logaritmo na base b de N, a base da potência.

Calculemos o logaritmo de .

Ao decompormos 15625 em fatores primos iremos obter 5⁶:

De acordo com a propriedade do logaritmo de uma potência temos:

O log₅ 5 é igual a 1, pois 5¹ = 5, portanto:

O logaritmo de 15625 na base 5 é igual a 6, visto que este é o expoente ao qual 5 deve ser elevado para obtermos 15625.

Para qualquer valor natural M, não nulo, o logaritmo na base b da raiz é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo na base b de N, o radicando da raiz.